حل انظمة المعادلات
حل انظمة المعادلات الخطية
عزيزي الطالب هذا الدرس في الصف الثالث المتوسط الجزء الثاني من كتاب الطالب
ونظام المعادلات يتكون من معادلتين كل معادلة تحتوي على متغيرين : س وَ ص .
نتعلم في هذا الدرس طريقة حل هذا النظام باستخدام الحذف وهذه الطريقة موجودة حالياً في كتاب الطالب إلا أنه استخدم معها طريقة التعويض ، وسوف نفرد طريقة التعويض كطريقة للحل وسوف نناقش الأمثلة التالية :
مثال ( 1 ) :
أوجد مجموعة الحل للنظام التالي في ح : س + ص = 10 ، س - ص = 4
الحل :
المعادلتان هما :
س + ص =10
س - ص = 4
لاحظ المتغير ( ص ) في المعادلتين متناظرين في الجمع معامل ص في المعادلة الأولى 1 وفي المعادلة الثانية -1
وهذا مما يجعل المتغير ( ص) صيداً سهلاً للحذف
عزيزي الطالب اجعل هذه القاعدة في ذهنك أثناء حل الأنظمة [ أن يكون المعامل للمتغير في المعادلة الأولى نظيراً جمعياً لمعامل المتغير نفسه في المعادلة الثانية ]
على ماسبق بعد حذف ص تكون المعادلة :
بمعنى 2س =14 بالقسمة على معامل س
س = 7
لحذف المتغير س في النظام السابق نضرب إحدى المعادلتين × -1 ولتكن المعادلة ( 1 )
- س - ص = -10
س - ص = 4
بالجمع ينتج : -2ص = -6 بالقسمة على معامل ص
ص = 3
مجموعة الحل = ْ{ ( 7 ، 3 ) }
مثال ( 2 ) :
أوجد مجموعة الحل للنظام التالي في ح : س + ص = 6 ، 2س - 3ص = 7
الحل :
المعادلتان هما :
س + ص = 6
2س -3ص = 7
أولاً : حذف المتغير س :
نحتاج أن نضرب المعادلة (1) × -2
وعليه ينتج : -2س -2ص =-12
والمعادلة الثانية هي : 2س -3ص = 7
بالجمع يعطينا :-5ص = -5 بالقسمة على معامل ص
ص = 1
ثانياً : حذف المتغير ص :
نحتاج أن نضرب المعادلة ( 1 ) × 3 وعليه ينتج :
3س + 3ص = 18
2س - 3ص = 7
بالجمع يعطينا : 5س = 25 بـ÷ على 5
س = 5
مجموعة الحل = { ( 5 ، 1 ) }
طريقة التعويض
سوف نقوم الآن بحل الأنظمة السابقة بطريقة التعويض وهي عل النحو التالي :
النظام الأول : س + ص = 10 ( 1 ) ؛ س - ص = 4 ( 2 )
من المعادلة ( 2 ) نجد أن : س = 4 + ص ( 3 )
الآن بتعويض المعادلة ( 3 ) في ( 1 ) ينتج أن : 4 + ص + ص = 10
وعليه : 4 +2 ص = 10 بإضافة ( -4 ) للطرفين
يعطينا : 2ص = 6 بالقسمة على 2 ينتج : ص = 3
بالتعويض في المعادلة ( 3 ) ينتج : س = 4 + 3
س = 7
بني الطالب لعلك تسأل نفسك الآن عن الخطوات التي تعتمد عليه طريقة حل الأنظمة بالتعويض ، وإليك هذه الإرشادات التي تعينك بعد عون الله عزوجل وهي :
*
من إحدى المعادلتين نقوم بحساب أحد المتغيرين بدلالة الآخر [ في النظام السابق قمنا بحساب المتغير س بدلالة ص في المعادلة ( 2 ) ]
*
من الخطوة السابقة نحصل على معادلة جديدة نسميها عادةً معادلة ( 3 ) .
*
نقوم بتعويض المعادلة ( 3 ) في المعادلة الأخرى " التي لم نستخدمها بعد " وبعد هذا التعويض سوف نحصل على قيمة أحد المتغيرين .
*
نقوم بتعويض قيمة المتغير التي حصلنا عليها في الخطوة السابقة في المعادلة ( 3 ) .
الآن نريد أن نحل المثال الثاني الذي سبق وهو :
النظام : س + ص = 6 ( 1 ) ، 2س - 3ص = 7 ( 2 )
من المعادلة ( 1 ) نجد أن : ص = 6 - س ( 3 )
نعوض معادلة ( 3 ) في ( 2 ) :
نجد أن : 2س - 3 ( 6 - س ) = 7
وبعد تتميم العمليات ينتج أن : 2س -18 + 3س = 7
بإضافة 18 للطرفين نجد أن : 5س = 25
بـ÷على 5 ينتج أن : س = 5
بالتعويض في ( 3 ) ينتج أن : ص = 6 - 5
ص = 1
مجموعة الحل = { ( 5 ، 1 ) }
حل انظمة المعادلات