حل انظمة المعادلات

حل انظمة المعادلات


حل انظمة المعادلات الخطية

عزيزي الطالب هذا الدرس في الصف الثالث المتوسط الجزء الثاني من كتاب الطالب

ونظام المعادلات يتكون من معادلتين كل معادلة تحتوي على متغيرين : س وَ ص .

نتعلم في هذا الدرس طريقة حل هذا النظام باستخدام الحذف وهذه الطريقة موجودة حالياً في كتاب الطالب إلا أنه استخدم معها طريقة التعويض ، وسوف نفرد طريقة التعويض كطريقة للحل وسوف نناقش الأمثلة التالية :

مثال ( 1 ) :

أوجد مجموعة الحل للنظام التالي في ح : س + ص = 10 ، س - ص = 4

الحل :

المعادلتان هما :

س + ص =10

س - ص = 4

لاحظ المتغير ( ص ) في المعادلتين متناظرين في الجمع معامل ص في المعادلة الأولى 1 وفي المعادلة الثانية -1

وهذا مما يجعل المتغير ( ص) صيداً سهلاً للحذف

عزيزي الطالب اجعل هذه القاعدة في ذهنك أثناء حل الأنظمة [ أن يكون المعامل للمتغير في المعادلة الأولى نظيراً جمعياً لمعامل المتغير نفسه في المعادلة الثانية ]

على ماسبق بعد حذف ص تكون المعادلة :

بمعنى 2س =14 بالقسمة على معامل س

س = 7

لحذف المتغير س في النظام السابق نضرب إحدى المعادلتين × -1 ولتكن المعادلة ( 1 )

- س - ص = -10

س - ص = 4

بالجمع ينتج : -2ص = -6 بالقسمة على معامل ص

ص = 3

مجموعة الحل = ْ{ ( 7 ، 3 ) }

مثال ( 2 ) :

أوجد مجموعة الحل للنظام التالي في ح : س + ص = 6 ، 2س - 3ص = 7

الحل :

المعادلتان هما :

س + ص = 6

2س -3ص = 7

أولاً : حذف المتغير س :

نحتاج أن نضرب المعادلة (1) × -2

وعليه ينتج : -2س -2ص =-12

والمعادلة الثانية هي : 2س -3ص = 7

بالجمع يعطينا :-5ص = -5 بالقسمة على معامل ص

ص = 1

ثانياً : حذف المتغير ص :

نحتاج أن نضرب المعادلة ( 1 ) × 3 وعليه ينتج :

3س + 3ص = 18

2س - 3ص = 7

بالجمع يعطينا : 5س = 25 بـ÷ على 5

س = 5

مجموعة الحل = { ( 5 ، 1 ) }

طريقة التعويض

سوف نقوم الآن بحل الأنظمة السابقة بطريقة التعويض وهي عل النحو التالي :

النظام الأول : س + ص = 10 ( 1 ) ؛ س - ص = 4 ( 2 )

من المعادلة ( 2 ) نجد أن : س = 4 + ص ( 3 )

الآن بتعويض المعادلة ( 3 ) في ( 1 ) ينتج أن : 4 + ص + ص = 10

وعليه : 4 +2 ص = 10 بإضافة ( -4 ) للطرفين

يعطينا : 2ص = 6 بالقسمة على 2 ينتج : ص = 3

بالتعويض في المعادلة ( 3 ) ينتج : س = 4 + 3

س = 7

بني الطالب لعلك تسأل نفسك الآن عن الخطوات التي تعتمد عليه طريقة حل الأنظمة بالتعويض ، وإليك هذه الإرشادات التي تعينك بعد عون الله عزوجل وهي :

*

من إحدى المعادلتين نقوم بحساب أحد المتغيرين بدلالة الآخر [ في النظام السابق قمنا بحساب المتغير س بدلالة ص في المعادلة ( 2 ) ]
*

من الخطوة السابقة نحصل على معادلة جديدة نسميها عادةً معادلة ( 3 ) .
*

نقوم بتعويض المعادلة ( 3 ) في المعادلة الأخرى " التي لم نستخدمها بعد " وبعد هذا التعويض سوف نحصل على قيمة أحد المتغيرين .
*

نقوم بتعويض قيمة المتغير التي حصلنا عليها في الخطوة السابقة في المعادلة ( 3 ) .

الآن نريد أن نحل المثال الثاني الذي سبق وهو :

النظام : س + ص = 6 ( 1 ) ، 2س - 3ص = 7 ( 2 )

من المعادلة ( 1 ) نجد أن : ص = 6 - س ( 3 )

نعوض معادلة ( 3 ) في ( 2 ) :

نجد أن : 2س - 3 ( 6 - س ) = 7

وبعد تتميم العمليات ينتج أن : 2س -18 + 3س = 7

بإضافة 18 للطرفين نجد أن : 5س = 25

بـ÷على 5 ينتج أن : س = 5

بالتعويض في ( 3 ) ينتج أن : ص = 6 - 5

ص = 1

مجموعة الحل = { ( 5 ، 1 ) }


حل انظمة المعادلات

احلى شي بالرياضيات المعادلات الجبرية

يسلمو